Два тетраедри, сім осей: гібридні комбінаційні головоломки

Інтерактивний супутник до заявки на винахід «Багатогранники для гібридних комбінаційних головоломок і спосіб їх побудови».

---

Більше, ніж кубик Рубіка

Комбінаційна головоломка — це багатогранник, грані якого розфарбовані в різні кольори, а частини можуть обертатися навколо кількох осей, не змінюючи загальної форми. Її «заплутують» поворотами і поворотами ж розв’язують. Найпоширеніших родин три:

• кубик Рубіка — складений з елементарних кубиків; три осі четвертого порядку (повороти на 90°) проходять через центри протилежних граней;
• піраміди (Pyraminx тощо) — складені з малих тетраедрів і октаедрів; чотири осі третього порядку (120°) проходять через вершину і центр протилежної грані;
• октаедри на кшталт Skewb Diamond — ті самі елементи, чотири осі третього порядку через центри протилежних граней.

Розмір позначають n×n×n. Кубики Рубіка бувають понад 20×20×20, піраміди й октаедри — приблизно до 5.

Проблема в тому, що елементарна деталь визначає все. Будуєш із кубиків — отримуєш кубічні головоломки з кубічними осями. Будуєш із тетраедрів і октаедрів — тетраедричні чи октаедричні форми з чотирма осями. Зробити головоломку у формі іншого багатогранника або додати осі неможливо.

Заявка пропонує інший набір «цеглинок» — і разом із ним загальний спосіб будувати багатогранники, що мають одразу сім осей обертання. Причому у формах, з яких головоломок ще не робили: кубооктаедри, зрізані октаедри, гібриди двох різних тіл та їхні зірчасті вищі форми.

---

Дві цеглинки

Усе складається з двох елементарних тетраедрів:

• правильний тетраедр — усі шість ребер завдовжки a, усі чотири грані — рівносторонні трикутники;
• прямокутний тетраедр — в основі рівносторонній трикутник зі стороною a, бічні грані — прямокутні рівнобедрені трикутники з прямим кутом при вершині O, бічні ребра дорівнюють a/√2. Це буквально відпиляний кут куба — тетраедр із низькою висотою.

З них складаються три первинні багатогранники:

• первинний тетраедр — це сам правильний тетраедр;
• первинний октаедр — вісім прямокутних тетраедрів, з’єднаних бічними гранями навколо спільної вершини O. Він розбирається на дві чотирикутні пірамідки, чотири похилі тетраедри або вісім прямокутних — і його половинки вже можна повертати на кут, кратний 90°;
• первинний кубик — один правильний тетраедр і чотири прямокутні, приєднані до його граней своїми основами. Ребро кубика — a/√2, а чотири прямокутні тетраедри можна повертати на кут, кратний 120°, навколо діагоналей кубика.

Узгодженість забезпечують два правила складання:

1. грані первинного тетраедра приєднуються лише до основ прямокутних тетраедрів, тобто до граней первинних октаедрів;
2. бічні грані прямокутних тетраедрів з’єднуються так, щоб катети збігалися з катетами, а гіпотенузи — з гіпотенузами.

Порушиш правило — площини розрізу втратять цілісність, і головоломка заклинить.

---

Звідки сім осей

Ось спостереження, на якому тримається весь спосіб побудови — і на якому побудовано симулятор нижче.

Візьмемо ребро первинного кубика за одиницю довжини і поріжемо простір сімома сімействами паралельних площин:

сімейство	площини	перпендикулярні до
кубічні	x = k, y = k, z = k (k ціле)	осей X, Y, Z
октаедральні	±x ± y ± z = 2j (j ціле)	чотирьох діагоналей A, B, C, D

Шматки, на які ці площини ріжуть простір, — це рівно дві наші цеглинки. Кожен одиничний куб розпадається на правильний тетраедр, що стоїть на чотирьох «парних» вершинах, і чотири прямокутні тетраедри, по одному на кожній «непарній» вершині. Це і є первинний кубик. Вісім прямокутних тетраедрів навколо однієї непарної точки решітки утворюють первинний октаедр.

Отже, обидва правила складання насправді кажуть: «тримайся решітки». Будь-яке тіло, грані якого лежать у цих площинах, автоматично складається з двох цеглинок, і крізь нього проходять усі сім сімейств площин розрізу. Кожне сімейство перпендикулярне до своєї осі — трьох кубічних і чотирьох діагональних. Шар між двома сусідніми площинами можна повернути, щойно його форма переходить сама в себе.

Для класичних форм це означає:

• тетраедр: окрім чотирьох осей третього порядку (120°), з’являються три нові осі через середини протилежних ребер, з поворотами на 180°. Візерунок на гранях при цьому не змінюється;
• октаедр: окрім чотирьох осей через протилежні грані (120°), з’являються три осі через протилежні вершини з поворотами на 90°;
• куб: окрім звичних трьох осей (90°), з’являються чотири діагональні з поворотами на 120°. Діагональні розрізи ділять кожен квадрат на грані на два незалежні прямокутні трикутники.

---

Інтерактивний дослідник

Конструктор. Оберіть родину і параметри — розмір, зрізання, параметри заявки (i, k) для гібридів, зірчасту форму — або введіть формулу. Попередній перегляд намальовано в стилі ілюстрацій до заявки, а складові багатогранники гібрида обведено контурами. У каталозі є всі тіла, зображені в заявці. Кнопка «Згенерувати» збирає головоломку елемент за елементом за способом із заявки, на шкалі, яку можна перемотувати.

Головоломка. Перетягніть будь-яку грань, щоб повернути шар: вісь обирається за напрямком руху з усіх семи. Можна також вибрати вісь і шар ліворуч або скористатися клавіатурою (X Y Z A B C D, стрілки, U). Є перемішування, скасування й повтор ходів і розв’язання — історія програється у зворотному порядку.

Вигляд. Наліпки, стиль ілюстрацій заявки, анатомія (правильні й прямокутні тетраедри), первинні октаедри, стадії побудови, шари. Деталі можна розвести («розліт») або зробити переріз уздовж будь-якої осі.

Панель інформації. Назва в термінах заявки, формула, кількість елементів, звірена з формулами заявки, група симетрії, а також кількість шарів і кут повороту для кожної осі.

---

Зоопарк

Основні багатогранники і кількість елементів

Заявка будує кожне тіло пошарово. Тетраедр розміру n: ряд із n первинних тетраедрів, потім n − 1 і так до одного; у проміжки — первинні октаедри; у заглиблення зверху — тетраедри вершиною вниз; далі наступний, менший шар. Октаедр: шари чотирикутних пірамідок (половинок октаедра), між ними правильні тетраедри, поставлені на ребра, а в заглибини — пірамідки вершиною вниз. Куб: шари n×n×1 із первинних кубиків. Кнопка «Згенерувати» відтворює саме ці кроки.

Кількість елементів має замкнену форму:

тіло	первинні тетраедри Nₜ	первинні октаедри Nₒ
тетраедр{n}	(n³ + 2n) / 3	(n³ − n) / 6
октаедр{n}	4(n³ − n) / 3	(2n³ + n) / 3
куб{n}	n³	n³ / 2

Прямокутних тетраедрів — 8·Nₒ. Симулятор рахує свої комірки незалежно і звіряє їх із цими формулами — це зелена ✓ на панелі інформації.

З кубами є тонкість. Парні куби мають повну симетрію октаедра і дві форми: у формі I на кожній вершині стоїть прямокутний тетраедр, у формі II там сходяться один правильний і три прямокутні. Щоб змінити форму, досить перенести шар n×n×1 з однієї грані на протилежну. Непарні куби мають лише симетрію тетраедра: чотири вершини одного типу, чотири — іншого. Поворот на 90° можливий, але він блокує осі третього порядку, доки його не скасуєш.

Зрізані багатогранники

Відокремлюючи фрагменти від вершин, отримуємо k-багатогранники, серед них кілька тіл Архімеда:

• зрізаний тетраедр{k} = тетраедр{3k}, від вершин якого відокремлено чотири тетраедри{k};
• кубооктаедр{k} = октаедр{2k} без шести квадратних пірамід{k} — або куб{2k} без восьми прямокутних тетраедрів{k};
• зрізаний октаедр{k} = октаедр{3k} без шести пірамід{k}.

Архімедів зрізаний куб із правильними восьмикутними гранями так побудувати не вдасться, але наблизитися до нього можна скільки завгодно. А непарний куб симетрично зрізати неможливо взагалі.

Гібриди

Гібрид — це об’єднання двох тіл різного типу чи розміру зі спільним центром; заявка називає його також першою зірчастою формою. Родин чотири:

родина	об’єднання	розміри	при i = 0
паратетраедр	тетраедр{m} ∪ обернений тетраедр{n}	m = 3i + 2k, n = i + 2k	зірчастий октаедр{k}
тетрагексаедр	тетраедр{m} ∪ куб{n}	m = 3i + k, n = i + k	куб{k}
тетраоктаедр	тетраедр{m} ∪ октаедр{n}	m = 2i + 2k, n = 3i + k	тетраедр{2k}
гексаоктаедр	куб{m} ∪ октаедр{n}	m = 2i + 2k; n = i + 2k або n = 3i + 2k	зірчастий кубооктаедр{k}

Тут k — розмір фрагмента, що прибудовується, а i — номер площини, рахуючи від ребра більшого тіла, до якої дотикається його основа.

Жодної з цих формул у симулятор не закладено. Він знає лише решітку: два тіла утворюють гібрид, коли можуть мати спільний центр і всі їхні грані лежать у площинах решітки. Усі наведені співвідношення розмірів випливають із цієї однієї умови. У конструкторі для кожної родини гібридів є карта всіх пар (m, n) до 14: яскраві точки — справжні гібриди, тьмяні — пари, де одне тіло ховається всередині іншого. І навпаки: жодного гібрида поза формулами заявки перебір не знаходить (перевірено вичерпно до розміру 8).

Гібриди теж можна зрізати — 2-паратетраедр{5,3} поєднує зрізаний тетраедр з оберненим і має дванадцять граней.

Вищі зірчасті форми

Майже всі гібриди мають вищі зірчасті форми. Їх отримують, продовжуючи площини граней одного типу до перетину з продовженнями площин граней іншого. Заявка розбирає це на прикладі кубооктаедра{1} у чотири етапи. Форма I — це куб{2} ∪ октаедр{2}. Форма IV — об’єднання зірчастого октаедра{2} і шести квадратних призм із загостреними вершинами на ребрах.

У симуляторі рівень зірчастості s означає: додати кожну обмежену область розбиття простору площинами граней, яка лежить зовні не більш ніж s із цих площин. Для кубооктаедра це точно відтворює форми I–IV — форму IV звірено з описом заявки комірка за коміркою, — а форма V вже нічого не додає. Для інших гібридів це природне узагальнення; спробуйте 2-паратетраедр{5,3-III}.

Тіло, побудоване цим способом, має щонайбільше чотирнадцять напрямків граней, тож і кольорів наліпок чотирнадцять.

---

Нотація для зоопарку

Заявка називає тіла як багатогранник{n-F}, k-багатогранник{n} і гібрид{m,n-F}. Для симулятора хотілося запису, який зручно набирати, комбінувати й обчислювати. Тож ось пропозиція — TOC-нотація (Tetrahedron, Octahedron, Cube):

формула	значення	назва в заявці
T3	правильний тетраедр розміру 3	тетраедр{3}
T'3	обернений тетраедр
O4, C4	октаедр, куб	октаедр{4}, куб{4-I}
C4'	парний куб у другій формі	куб{4-II}
2-T6	від кожної вершини відокремлено фрагмент розміру 2	зрізаний тетраедр{2}
T5+T'3	об’єднання зі спільним центром	паратетраедр{5,3-I}
C6+O7		гексаоктаедр{6,7-I}
C2+O2*3	зірчаста форма третього рівня	гексаоктаедр{2,2-III}

Нотація алгебраїчна, тож одне тіло може мати кілька записів. Панель інформації знаходить їх сама: 1-O2 ≡ 1-C2 (кубооктаедр), 1-O2*1 ≡ C2+O2, O1*1 ≡ T2+T'2 (зірчастий октаедр).

Ходи записуються як вісь, номер шару від від’ємного кінця осі та суфікс: Z3 — +90°, Z3′ — −90°, X2² — 180°, A1 — +120°. Додатний поворот іде проти годинникової стрілки, якщо дивитися з додатного кінця осі.

Сигнатура шарів. Панель інформації показує також щось на кшталт 4·4·4 | 7·7·7·7 — кількість шарів уздовж X·Y·Z та уздовж A·B·C·D. Це узагальнення «4×4×4», яке одразу показує, як влаштовано повороти. Дві форми куба 4 ззовні однакові, але одна має сигнатуру 4·4·4 | 7·7·7·7, а інша — 4·4·4 | 6·6·6·6.

---

Твердження заявки — наживо

Жодних спеціальних правил симулятор не має. Шар можна повернути, якщо його область переходить сама в себе при обертанні і в поточному стані жоден елемент не перетинає жодної з його площин розрізу. Оце і все — а твердження заявки випливають самі:

• кількість елементів збігається з формулами для будь-якого розміру;
• симетрію обчислено для внутрішньої структури, а не лише для поверхні: парні куби мають групу O_h, непарні — T_d;
• у непарному кубі поворот грані на 90° дозволений — але після нього більшість шарів на діагональних осях стають червоними й заблокованими, доки не повернеш грань назад;
• тетраедр обертається лише на 180° навколо кубічних осей і на 120° навколо діагональних.

---

Що спробувати

• Відкрийте C3, поверніть грань на 90°, виберіть вісь A — і подивіться, як шари блокуються.
• Порівняйте C4 і C4': однакові ззовні, різні сигнатури шарів.
• Введіть 1-O2*1 — і з’явиться еквівалент C2+O2.
• Пройдіть C2+O2*1 … C2+O2*4 і перегляньте збирання кожної форми з розфарбуванням «Стадії».
• Режим «Анатомія» з розльотом на O3 показує, як прямокутні тетраедри складаються в первинні октаедри.
• Відкрийте родину гексаоктаедрів і поклацайте карту дозволених співвідношень.

---

Під капотом

Усі координати — цілі числа (подвоєні й відцентровані відносно тіла), тому будь-яка послідовність поворотів точна: жодного дрейфу і жодного «доклацування». Кожен елемент пам’ятає лише, який із 24 поворотів куба до нього застосовано. Рендеринг — це два інстансовані меші, по одному на тип тетраедра. Один шейдер малює і заокруглені наліпки, і лінії ребер у стилі заявки, і кольори анатомії — з відстаней до ребер кожного трикутника. Геометричне ядро написане на чистому JavaScript і протестоване на твердженнях заявки.

---